Im Jahr 1928 als Kind russischer Eltern in Paris geboren verbrachte er seine Kindheit in Mailand, bevor er in die französische Hauptstadt zurückkehrte und sich schließlich in den Vereinigten Staaten niederließ. 1948 traf er Steichen, Robert Capa und Roy Stryker in New York, und es war Capa, der ihn einlud, sich 1953 der Agentur Magnum Photos anzuschließen. Seitdem ist Elliott Mitglied der prestigeträchtigen Gruppe geblieben, in der er häufig die Rolle des Präsidenten übernimmt.
Im Jahr 1970 begann er, Filme zu produzieren und produzierte insgesamt 17 in seiner gesamten Laufbahn, darunter Dokumentarfilme, Komödien und Satiren. Er organisiert Einzelausstellungen in Amerika, Paris, Madrid und London. Im Laufe seiner Karriere hat er mehr als 20 Bücher veröffentlicht.
